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告别迷茫

梦想与现实的差距,就是我们生活的意义。因为我们有差距,我们才会一直积累,在努力。

 
 
 

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快速幂取模算法 HDU 1905  

2014-04-25 22:12:05|  分类: 搜索的入门 二分 |  标签: |举报 |字号 订阅

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快速幂取模算法

在网站上一直没有找到有关于快速幂算法的一个详细的描述和解释,这里,我给出快速幂算法的完整解释,用的是C语言,不同语言的读者只好换个位啦,毕竟读C的人较多~

所谓的快速幂,实际上是快速幂取模的缩写,简单的说,就是快速的求一个幂式的模()。在程序设计过程中,经常要去求一些大数对于某个数的余数,为了得到更快、计算范围更大的算法,产生了快速幂取模算法[有读者反映在讲快速幂部分时有点含糊,所以在这里对本文进行了修改,作了更详细的补充,争取让更多的读者一目了然]

我们先从简单的例子入手:求几。

算法1.首先直接地来设计这个算法:

int ans = 1;

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = ans * a;

}

ans = ans % c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中,为Ob.这个算法存在着明显的问题,如果ab过大,很容易就会溢出。

那么,我们先来看看第一个改进方案:在讲这个方案之前,要先有这样一个公式:

.这个公式大家在离散数学或者数论当中应该学过,不过这里为了方便大家的阅读,还是给出证明:

引理1

上面公式为下面公式的引理,即积的取余等于取余的积的取余。

证明了以上的公式以后,我们可以先让a关于c取余,这样可以大大减少a的大小,

于是不用思考的进行了改进:

算法2

int ans = 1;

a = a % c; //加上这一句

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = ans * a;

}

ans = ans % c;

聪明的读者应该可以想到,既然某个因子取余之后相乘再取余保持余数不变,那么新算得的ans也可以进行取余,所以得到比较良好的改进版本。

算法3

int ans = 1;

a = a % c; //加上这一句

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = (ans * a) % c;//这里再取了一次余

 

}

ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进,仍为O(b),不过已经好很多的,但是在c过大的条件下,还是很有可能超时,所以,我们推出以下的快速幂算法

快速幂算法依赖于以下明显的公式,我就不证明了。

有了上述两个公式后,我们可以得出以下的结论:

1.如果b是偶数,我们可以记k = a2 mod c,那么求(k)b/2 mod c就可以了。

2.如果b是奇数,我们也可以记k = a2 mod c,那么求

((k)b/2 mod c × a ) mod c =((k)b/2 mod c * a) mod c 就可以了。

 

那么我们可以得到以下算法:

算法4

int ans = 1;

a = a % c;

if(b%2==1)

ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数,要多求一步,可以提前算到ans

k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a

for(int i = 1;i<=b/2;i++)

{

ans = (ans * k) % c;

}

ans = ans % c;

 

我们可以看到,我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然,这样子治标不治本。但我们可以看到,当我们令k = (a * a) mod c时,状态已经发生了变化,我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然,对于奇数的情形会多出一项a mod c,所以为了完成迭代,当b是奇数时,我们通过

ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项,此时剩余的部分就可以进行迭代了。

 

形如上式的迭代下去后,当b=0时,所有的因子都已经相乘,算法结束。于是便可以在Olog b的时间内完成了。于是,有了最终的算法:快速幂算法。

算法5:快速幂算法

 

int ans = 1;

a = a % c;

while(b>0)

{

 

if(b % 2 == 1)

ans = (ans * a) % c;

b = b/2;

a = (a * a) % c;

}

将上述的代码结构化,也就是写成函数:

int PowerMod(int a, int b, int c)

{

int ans = 1;

a = a % c;

while(b>0)

{

 

if(b % 2 = = 1)

ans = (ans * a) % c;

b = b/2;

a = (a * a) % c;

}

return ans;

}

本算法的时间复杂度为Ologb),能在几乎所有的程序设计(竞赛)过程中通过,是目前最常用的算法之一。

以下内容仅供参考:

扩展:有关于快速幂的算法的推导,还可以从另一个角度来想。

=?求解这个问题,我们也可以从进制转换来考虑:

10进制的b转化成2进制的表达式:

那么,实际上,.

所以

注意此处的要么为0,要么为1,如果某一项,那么这一项就是1,这个对应了上面算法过程中b是偶数的情况,为1对应了b是奇数的情况[不要搞反了,读者自己好好分析,可以联系10进制转2进制的方法],我们从依次乘到。对于每一项的计算,计算后一项的结果时用前一项的结果的平方取余。对于要求的结果而言,为ans不用把它乘起来,[因为这一项值为1],为1项时要乘以此项再取余。这个算法和上面的算法在本质上是一样的,读者可以自行分析,这里我说不多说了,希望本文有助于读者掌握快速幂算法的知识点,当然,要真正的掌握,不多练习是不行的。

 

 


分析:题目描述,费马定理说对于一个素数P,任意一个整数a>1,有(a^P)modP=a。但是反过来却不一定,即满足(a^P)modP=a的整数P却不一定是素数。那么这个整数P就是伪素数。题目要求给你两个整数P和a,要你判定P是不是以a为底的伪素数。

首先,如果P是素数的话,它肯定不是伪素数了。这个毫无疑问。

然后,如果P不是素数的话,如果它满足(a^P)modP=a,它肯定是伪素数了。

剩下的那些既不是素数,还不满足(a^P)modP=a的当然也不是伪素数啦!

Ok!思路就是这样!细节看代码HDU 1905    Pseudoprime numbers - toints - toints的博客

Pseudoprime numbers


Time Limit : 1000/1000ms (Java/Other)   Memory Limit : 32768/32768K
(Java/Other)

Total Submission(s) : 4   Accepted Submission(s) : 4

Problem Description

Fermat's theorem states that for any prime number p and
for any integer a > 1, a^p == a (mod p). That is, if we raise a to the pth
power and divide by p, the remainder is a. Some (but not very many) non-prime
values of p, known as base-a pseudoprimes, have this property for some a. (And
some, known as Carmichael Numbers, are base-a pseudoprimes for all a.)
Given
2 < p ≤ 1,000,000,000 and 1 < a < p, determine whether or not p is a
base-a pseudoprime.

 


Input

Input contains several test cases followed by a line
containing "0 0". Each test case consists of a line containing p and a.

 


Output

For each test case, output "yes" if p is a base-a
pseudoprime; otherwise output "no".

 


Sample Input

3 2
10 3
341 2
341 3
1105 2
1105 3
0 0

#include<stdio.h>

bool isprime(long long x)
{
for(int i=3;i*i<=x;i+=2)
{
if(x%i==0) return false;
}
return true;
}
long long pow(long long a,long long b,long long c)
{
long long flag=1;
while(b>=1)
{
if(b%2==1) flag=(flag*a)%c;
a=(a*a)%c;
b=b/2;/*b/2%%b>>=1*/
}
return flag;
}
int main()
{
long long p,a;
while(scanf("%I64d%I64d",&p,&a),a+p)
{
if(isprime(p)) printf("no\n");
else if(pow(a,p,p)==a%p)
printf("yes\n");
else
printf("no\n");
}
return 0;
}

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